2.228. Budujemy nieskończony ciąg figur $\left(F_{n}\right), n \in N_{+} .$Figurą $F_{1}$ jest kwadrat o boku długości $a$. Następnie dzielimy każdy bak kwadratu na trzy równe części i ,doklejamy” cztery kwadraty o boku długości $\frac{a}{3} . \mathrm{W}$ ten sposób otrzymujemy figurę $F_{2} .$ W kolejnym kroku dzielimy trzy boki mniejszych czterech kwadratów i „doklejamy” do nich po trzy kwadraciki o boku długości $\frac{a}{\mathrm{~g}}$, otrzymując figurę $F_{3}$ (zobacz rysunek poniżej). Analogicznie konstruujemy kolejne figury ciągu $\left(F_{n}\right)$. Niech $L_{n}$ oznacza obwód figury $F_{n}$, natomiast $P_{n}-$ pole figury $F_{n}$a) Wykaż, że $L_{n}=\frac{4 a(2 n+1)}{3}$ oraz oblicz granicę $\lim _{n \rightarrow \infty} L_{n}$.b) Wykaż, że $P_{n}=a^{2}\left(\frac{5}{3}-\frac{2}{3^{n}}\right)$ oraz oblicz granice $\lim _{n \rightarrow \infty} P_{n}$.
Matematyka 3. Zakres rozszerzony Zadanie 2.228 strona 72
Zaloguj się lub stwórz nowe konto
aby zobaczyć zadanie!
Zadaj pytanie tutaj i otrzymaj rozwiazanie w kilka sekund!
Warto wiedzieć
Zadanie o treści: 2.228. Budujemy nieskończony ciąg figur $\left(F_{n}\right), n \in N_{+} .$Figurą $F_{1}$ jest kwadrat o boku długości $a$. Następnie dzielimy każdy bak kwadratu na trzy równe części i ,doklejamy” cztery kwadraty o boku długości $\frac{a}{3} . \mathrm{W}$ ten sposób otrzymujemy figurę $F_{2} .$ W kolejnym kroku dzielimy trzy boki mniejszych czterech kwadratów i „doklejamy” do nich po trzy kwadraciki o boku długości $\frac{a}{\mathrm{~g}}$, otrzymując figurę $F_{3}$ (zobacz rysunek poniżej). Analogicznie konstruujemy kolejne figury ciągu $\left(F_{n}\right)$.
Niech $L_{n}$ oznacza obwód figury $F_{n}$, natomiast $P_{n}-$ pole figury $F_{n}$a) Wykaż, że $L_{n}=\frac{4 a(2 n+1)}{3}$ oraz oblicz granicę $\lim _{n \rightarrow \infty} L_{n}$.b) Wykaż, że $P_{n}=a^{2}\left(\frac{5}{3}-\frac{2}{3^{n}}\right)$ oraz oblicz granice $\lim _{n \rightarrow \infty} P_{n}$.
Zadanie zweryfikowane przez pracownika serwisu
Rozwiązanie tego zadania przygotował nauczyciel
Nauczyciel matematyki klas I - IV LO / Technikum Interesują mnie szczególnie technologie edukacyjne. Staram się na bieżąco śledzić nowe narzędzia, aplikacje i programy mogące pomóc uczniom przyswoić matematykę.
Zuzanna Dorcińska posiada 4711 rozwiązanych zadań w naszym serwisie
Rok wydania
2017
Wydawnictwo
OE Pazdro
Autorzy
Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda
ISBN
978-83-759-4212-5
Rodzaj książki
Zbiór zadań
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 20 strona 138
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 6.46 strona 151
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 4.129 strona 117
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 8.177 strona 218
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 4.10 strona 102
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 3.117 strona 92
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 1.67 strona 19
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 6.61 strona 153
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 4.120 strona 116
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 6.83 strona 159
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 8.32 strona 201
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 8.118 strona 210
Matematyka 3. Zakres rozszerzony zadanie 5.80 strona 134